ㅎㅎㅎ 드디어 콜렉션 하나를 완성하셨네요.
한가지 흥미로운게 78XX와 79XX의 조합으로도 가상접지 구현이 된다는게 신기합니다. 처음 본거라서요....
다음에는 자작품을 하나 내주세요 ㅎㅎㅎㅎ 이렇게 문서만 올라오는 걸 보니 약간 근질한데요 <== 자기도 절두중인 주제에;;
회로도 일부를 수정했습니다. 제 개인적인 취향을 빼고 그냥 객관적으로 성능이 우수하게 나왔던 녀석으로 Example을 대치했습니다.
그런데. 혁재님.
에러라는 것는 +/- 성분이 있는데 이중 운 나쁘게도 어느 한방향으로만(예를들면 + 에러쪽으로만) 작용하는 것이 아니므로 여러개를 달면 +/- 상쇄 및 평준화되어 에러는 감소합니다.
대신 단순하게 이야기해서, 더하는 것이 아니라 곱하게 되면 말씀하신대로 에러가 전파되면서 다른 값을 갖습니다.
즉, 제일 많이 영향을 주는 녀석의 에러보다 조금 더 큰값을 갖게 되겠지요.
그런데 3%가 나오셨다니, 혁재님께서 제대로 계산하시고는 실수로 분모를 1/10로 나누신 것 같습니다.^^
아. 그리고 직렬이나 병렬이나 단순히 더하는 경우엔 의미상 차이가 없고 결과가 동일합니다.
저항을 만드는 업체에서 저항을 여러개 만들고 그 저항의 오차를 측정한다고 가정을 해 보죠. 10개를 측정해서 표준편차를 구한 경우와 100개를 측정해서 표준편차를 구한 두 경우의 오차는 다를 수 밖에 없습니다. 그것이 라플라스가 말한 중심극한정리가 아닌가 싶습니다. 모집단의 크기가 커 질수록 정규분포에 가까와진다는...
두 개의 저항을 직렬로 연결해 놓고 그 값을 더하는 경우를 생각해 보죠. 각 저항을 R1, R2라 하고 각각의 오차(표준편차)를 s1, s2라고 가정하면 직렬로 연결된 저항의 값 R = R1+R2가 되겠지요. 다들 아시다시피...그런데, 오차는 상쇄되는 것이 아니라 전파(propagation)되는 것이지요. 따라서, 새로운 저항의 오차 s=sqrt(s1^2+s2^2)이 됩니다.
따라서, 1% 저항 10개를 직렬로 연결하면 새로운 저항의 오차 s=sqrt(10 x 0.01^2)=0.03, 즉 3%가 됩니다.
100옴 1%급 저항에서 최악중의 최악의 경우를 생각해 보면 10개가 모두 101옴일 경우입니다.
그러면 직렬연결하면 10*101=1010옴 입니다. 이래봤자 이 저항의 오차는 1%입니다.
혁재님 계산에 틀린부분은 절대 오차가 아니라 상대 오차로 유도한데 있습니다.
1%라는 것은 상대오차입니다.
실제 절대오차로 계산해야 맞는 것입니다.
100옴의 1%는 1옴입니다. 그러므로 직렬저항의 절대오차는=sqrt(10x1^2)=3.16옴입니다.
그러므로 3.16/1000=0.316%가 됩니다.
참고로 더하기가 아니라 곱할 때에는... 이거 정말 재미없어지는군요...^^
나누기 기호를 쓸 수가 없으니 #를 (곱하기 또는 나누기)로 정의하고,
y=x1#x2#x3...xn이라는 함수가 있을 때, 각 변수 x1, x2,...xn의 표준편차가 각각 s1, s2, ...sn이라면,
y의 표준편차 sy = y곱하기sqrt[(s1/x1)^2+(s2/x2)^2+...(sn/xn)^2]가 되겠지요.
아하~~~ 이거 참 머리가 점점 복잡해지는군요. 매일 몸만 쓰다가 머리를 쓸려니 쥐가 나는군요. 좀 더 생각해보죠...하하하. 그래도 오랫만에 머리를 쓰니까 재미있네요. ^^ 상대오차, 절대오차라...하하 기억을 좀 더 더듬어봐야겠습니다.^^ 하스 회원 중에 수학전공하신 분 안 계신가요? ^^
에구. 제가 던진 화두에 두분이서 수학문제를 푸시게 됐습니다. ^^;
중심 극한 정리의 요지는 임의의 분포함수를 갖은 확률 변수들의 합은 정규분포에 근사한다라고 하겠습니다.
예를 들어 A라고 표기된 두개의 저항이 있습니다. 이들의 실제 저항치는 A+da1, A+da2라고 놓을 수 있습니다.
이들을 직렬 연결할 경우 총 저항은 2A+da+db가 됩니다. 이렇게 직렬 연결된 저항은 이제 2A가 대표값이
됩니다. 그리고 오차는 da1+da2가 되지요. 하지만 da1와 da2값은 어떠한 값을 가지게 될지는 특정할 수가
없습니다. 때문에 일단 평균은 A이고 표준편차를 k라고 놓도록 하지요. 하지만 da1+da2는 일단 max(2da1, 2da2)
보다는 작을 것입니다.
이제 중심 극한 정리를 이용하기 위해 이제 n개의 저항을 직렬로 연결하겠습니다. 이 경우 저항의 대표값은
nA가 되고 오차는 da1+da2+ ... + dan 이 됩니다. 따라서 중심 극한 정리에 의해 직렬 연결된 총 저항의 합을
저항의 대표값 nA로 빼주고 남은 오차를 sqrt(n)*k로 나눈 새로운 확률 변수는 평균이 0이고 분산이 1인
정규분포를 따르게 됩니다.
이 얘기는 대표값이 동일한 여러 개의 저항을 직렬 또는 병렬로 구성할 경우 오차가 0에 수렴해가고 오차의
분포는 정규분포를 따르게 됩니다. 또한 n이 커질수록 오차가 0에 수렴할 확률은 증가하게 됩니다. 이는
로피탈(L'Hospital)의 정리와 레비의 연속 정리를 함께 이용하여 증명하실 수 있습니다.
오차를 통해 얘기를 진행하였는데 레비의 연속 정리를 이용하게 되면 오차가 아닌 대표값을 가지고 설명이
가능하며 대표값이 A인 저항 n개의 합은 평균이 A이고 분산이 k*k/n 인 정규분포를 따르게 됨을 증명할 수
있습니다.
두 개의 확률변수x1, x2이 독립이고, 평균과 표준편차가 (m1, k1), (m2, k2)인 정규분포일 경우 두 확률
변수 x1+x2는 평균이 m1+m2이고 분산이 k1^2+k2^2 인 정규분포가 됩니다.
따라서 n개의 표본을 몇개의 그룹으로 나누게 되면 이들의 평균값에 대한 분포는 n을 키울수록 평균이
m이고 표준 편차가 k/sqrt(n)인 정규분포로 근사하게 됩니다. 정규분포의 특성상 분포가 평균값 근처에
있을 확률이 가장 높지요. 결국 오차가 0일 확률이 가장 크고 n이 커질수록 이 확률은 더욱 커지게 됩니다.
갑자기 자작방이 수학 공부하는 방이 되버린 느낌이 드는군요. 자칫 수학에 관심없는 회원님들께서
하스를 떠나는 일이 벌어질까봐 두렵습니다. ^^;
혁재님의 지적이 전혀 틀린 것은 아닙니다. 다만 혁재님이 지적하시는 상황이 일어날 확률은 중심극한
정리에 의해 n이 커질수록 0에 수렴해가게 됩니다. 정섭님의 계산법은 단순한 1%라는 값을 다룬 것이
아닌 1%라는 확률 변수를 다루었기 때문에 0.3% 라는 확률을 얻게 된 것입니다.
마지막으로 한가지 첨언하자면 이론 자체는 무척 까다롭습니다만 이 성질을 잘 이용하면 1%급
저항을 이용하여 0.1%급 저항 모듈을 만들수도 있습니다. 또한 저항 뿐 아니라 컨덴서에도
적용할 수 있으며 컨덴서에 적용될 경우 저 임피던스 컨덴서 모듈을 구성하는데 적용될 수
있습니다.
가급적 정확한 용량의 저항이 필요하신 경우에 저항의 병렬 또는 직렬 연결로 구성할 경우
오차를 줄일 수 있다는 요지에서 던진 말이 너무 깊게까지 들어와버렸군요. ^^;
정섭님, 경남님의 좋은 지적 감사합니다. 이제 제가 이 즈음에서 꼬리를 내려야할 것 같습니다. 2대1로 불리하네요.^^ 월요일에 회사가서 수학 전공한 친구를 찾아서 강의를 좀 들어야 할 것 같습니다. ^^
외국의 diyAudio.com같은 site애서는 꼭 이런 수학 문제만이 아니라, 여러가지 이슈에 대해서 회원들이 토론을 참 많이 합니다. 우리 하스도 공부하는 하스가 되었으면 합니다. 저만 공부하면 되나요? ^^
맞는 말씀입니다.
더군다나 위의 이야기는 Scatter 되어 있는 오차가 1%일 때만 맞는 이야기이고,
Bias 된 오차의 경우는 고려하지 않은 것이므로 엄격하게 이야기 하면 틀린 것이지만,
(실제로는 이 Bias 오차때문에 1%급 저항 수만개를 연결해도 0.01%급 저항은 안 만들어 지겠지요.)
일반적인 경우를 원리적으로 정량화해서 설명한 것이지요.
경호님 말씀에 이의 제기 하나.
통계에서 오차가 줄어들 확률이 줄어든다는 말은 정밀도가 높아진다는 뜻과 동일한 맥락에서 이해하셔야
합니다. n개의 그룹으로 나누고 이들의 합이 정규분포를 따르게 된다는 말이 바로 이것을 의미합니다.
물론 정섭님 말씀처럼 바이어스 오차가 존재할 경우 그리고 이 바이어스를 추정할 수 없는 경우에는
문제가 되겠습니다만 바이어스 오차가 없을 경우에는 정밀도가 1%급인 저항 여러개를 조합하여
0.3%급 저항 모듈을 만들 수 있습니다. 여기에 중심 극한 정리의 공학적 이용이라는 묘미가 있습니다.
제가 앞서 설명한 부분에서 레비의 연속 정리를 이용하여 이 문제를 풀어보았습니다. 저항의 선형
결합 숫자가 커지면 커질수록 오차의 표준 편차는 0에 수렴하게 됩니다. 즉, 바이어스 오차가
없는 경우 오차는 0으로 수렴하게 된다는 얘기가 됩니다. 정규분포 함수는 열역학에서는 커널이라고
하여 Delta function family를 구성하게 됩니다. 마찬가지로 저항의 선형 결합 시 오차가 1%를 넘어가는
경우의 확률은 0이 아니지만 n이 커지면 커질수록 0에 집중되고 분산 또한 0에 무한히 수렴해가게됩니다.
물론 이로 인한 음질 향상과는 또 다른 문제가 됩니다만 회로적 측면에서 보다 정밀한 구성은 가능해
진다는 것을 의미합니다.
제가 요즘 여러 개의 중저가의 센서를 조합하여 칼만필터나 H_infinity 필터 등을 이용하여 고가의
센서에 준하는 수준으로 정밀도를 개선하는 연구를 하고 있습니다. 표준 편차가 A, B인 분포를 가지는
두 센서를 최적 필터를 이용하여 결합할 경우 표준 편차는 min(A, B)보다 반드시 작아지게 됩니다.
참고로 칼만 필터는 밴드 패스 필터와는 같은 용도로 사용될 수도 있습니다만 조금 다른 의미와
기능을 지니고 있습니다. 물론 시스템에 대한 정확한 정보가 있는 디지털 회로의 경우 밴드 패스
필터와 같은 기능을 위해 구성도 가능합니다. 이 경우 밴드 패스 필터와는 급이 다른 성능을
보여줍니다. 물론 이런 목적보다는 보다 다양한 분야에 응용되는 것이 일반적이지요.
요즘 제 관심사가 모두 이쪽에 집중되어 있다 보니 얘기가 너무 이상한 곳으로 흘러버렸군요...
Op-Amp 가상접지의 예시 회로로 나온 G 회로는 시뮬레이션 하면 10옴 저항 있는 쪽 채널이 놀게 됩니다. 즉 한쪽 채널이 모든 전류를 감당합니다.
그러하니 양쪽에 다 10옴 저항을 넣어주는 편이 나을듯 하네요. 문제는 그렇게 하면 출력 임피던스가 커지는 덕택에 크로스토크가 증가합니다.
따라서 Dual Channel Op-Amp를 가상접지에 쓰려면 한쪽 채널만 써서 B로 구성하든가, 혹은 D로 직렬연결하는 게 나아보입니다. 아니면 H와 같은 구성도 물론 생각해볼 수 있는데, Op-Amp에 따라 잘 되는 경우도 있고 아닌 경우도 있어서 좀 까다로울 듯합니다.
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